Astronomie

Unités et quelques équations

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Je suis un étudiant diplômé et j'ai l'impression que c'est une question extrêmement élémentaire que je devrait sais, mais j'avoue que non. Parfois, en science, je me retrouve à résoudre une équation pour une réponse où j'ai l'impression que les unités ne s'additionnent pas.

Par exemple, dans un univers dominé par la matière spatialement plat avec de la matière non relativiste, l'âge accepté d'un tel univers est :

$$t_0 = frac{2}{3}H_0$$

$H_0$ a des unités de ${ m km} cdot { m s}^{-1} cdot { m Mpc}^{-1}$.

Pourquoi est-ce que je prends du temps avec ça ? Je sais que ça marche, je sais que c'est correct. Ce n'est pas le seul exemple de cela que j'aie jamais vu, mais c'est le plus frais dans ma mémoire. Cela a du sens sur le plan conceptuel, mais j'ai généralement l'habitude de faire une analyse dimensionnelle méticuleuse et je me demande simplement s'il y a une métaphysique ou une philosophie profonde derrière quand cela s'applique et quand ce n'est pas le cas.


La constante de Hubble n'a effectivement qu'une unité de temps inverse : ${ m s}^{-1}$:

Il est généralement donné comme ${ m km}cdot{ m s}^{-1}{ m Mpc}^{-1}$. Pourtant, en y regardant, km et Mpc sont tous deux des unités de longueur, ils s'annulent donc lorsqu'ils sont convertis dans la même unité. Ajoutez donc la conversion d'unité appropriée de km en Mpc et il ne reste qu'un temps inverse :

$$t = frac{1}{H_0} = frac{ m Mpc}{60 { m km}cdot{ m s}^{-1}} = frac{3cdot 10^{ 22} { m m}{ m s}}{60cdot 1000 { m m}} = 5cdot 10^{17}{ m s} = 15{ m Ga}$$

Ajoutez des facteurs sans dimension à l'équation pour tenir compte des différents modèles cosmologiques et théories de l'inflation. Ce n'est de toute façon qu'un nombre approximatif - mais facile à obtenir pour l'âge de l'univers.


Unités et mesure Classe 11 Notes Physique Chapitre 2

  1. La mesure
    Le processus de mesure est essentiellement un processus de comparaison. Pour mesurer une quantité physique, nous devons découvrir combien de fois une quantité standard de cette quantité physique est présente dans la quantité mesurée. Le nombre ainsi obtenu s'appelle la grandeur et l'étalon choisi s'appelle l'unité de la grandeur physique.
  2. Unité
    L'unité d'une quantité physique est une norme choisie arbitrairement qui est largement acceptée par la société et en fonction de laquelle d'autres quantités de nature similaire peuvent être mesurées.
  3. Standard
    L'incarnation physique réelle de l'unité d'une quantité physique est connue comme une norme de cette quantité physique.
    • Pour exprimer toute mesure effectuée, nous avons besoin de la valeur numérique (n) et de l'unité (μ). Mesure de la grandeur physique = valeur numérique x unité
    Par exemple : Longueur d'une tige = 8 m
    où 8 est la valeur numérique et m (mètre) est l'unité de longueur.
  4. Grandeur/unités physiques fondamentales
    C'est une grandeur physique élémentaire, qui ne nécessite aucune autre grandeur physique pour l'exprimer. Cela signifie qu'il ne peut pas être résolu davantage en termes de toute autre quantité physique. Elle est également connue sous le nom de quantité physique de base.
    Les unités des grandeurs physiques fondamentales sont appelées unités fondamentales.
    Par exemple, dans le système M. K. S., la masse, la longueur et le temps exprimés respectivement en kilogramme, mètre et seconde sont des unités fondamentales.
  5. Quantité/unités physiques dérivées
    Toutes ces grandeurs physiques, qui peuvent être dérivées de la combinaison de deux ou plusieurs grandeurs fondamentales ou peuvent être exprimées en termes de grandeurs physiques de base, sont appelées grandeurs physiques dérivées.
    Les unités de toutes les autres grandeurs physiques, quelle voiture. être obtenues à partir d'unités fondamentales, sont appelées unités dérivées. Par exemple, les unités de vitesse, de densité et de force sont respectivement m/s, kg/m3, kg m/s2 et ce sont des exemples d'unités dérivées.
  6. Systèmes d'unités
    Auparavant, trois systèmes d'unités différentes étaient utilisés dans différents pays. Il s'agissait des systèmes CGS, FPS et MKS. De nos jours, le système international d'unités SI est suivi. Dans le système d'unités SI, sept quantités sont prises comme quantités de base.
    (i) Système CGS. Le centimètre, le gramme et la seconde sont utilisés pour exprimer respectivement la longueur, la masse et le temps.
    (ii) Système FPS. Le pied, la livre et la seconde sont utilisés pour exprimer respectivement la longueur, la masse et le temps.
    (iii) Système MKS. La longueur est exprimée en mètre, la masse est exprimée en kilogramme et le temps est exprimé en seconde. Le mètre, le kilogramme et la seconde sont utilisés pour exprimer respectivement la longueur, la masse et le temps.
    (iv) Unités SI. La longueur, la masse, le temps, le courant électrique, la température thermodynamique, la quantité de substance et l'intensité lumineuse sont exprimés respectivement en mètre, kilogramme, seconde, ampère, kelvin, mole et candela.
  7. Définitions des unités fondamentales
  8. Unités supplémentaires
    Outre les sept unités mentionnées ci-dessus, il existe deux unités de base supplémentaires. ce sont (i) le radian (rad) pour l'angle, et (ii) le stéradian (sr) pour l'angle solide.
  9. Avantages du système d'unités SI
    Le système d'unités SI présente les avantages suivants par rapport aux autres. Outre les sept unités mentionnées ci-dessus, il existe deux unités de base supplémentaires. Ce sont des systèmes d'unités :

    (i) Il est internationalement accepté,
    (ii) C'est un système d'unités rationnel,
    (iii) C'est un système d'unités cohérent,
    (iv) C'est un système métrique,
    (v) Il est étroitement lié aux systèmes d'unités CGS et MKS,
    (vi) Utilise le système décimal, est donc plus convivial.
  10. Autres unités de longueur importantes
    Pour mesurer de grandes distances, par exemple les distances des planètes et des étoiles, etc., certaines unités de longueur plus grandes telles que ‘unité astronomique’, ‘année-lumière’, parsec’, etc. sont utilisées.
    • La séparation moyenne entre la Terre et le Soleil est appelée une unité astronomique.
    1 UA = 1,496 x 10 11 m.
    • La distance parcourue par la lumière dans le vide en une année est appelée année-lumière.
    1 année-lumière = 9,46 x 10 15 m.
    • La distance à laquelle un arc de longueur d'une unité astronomique sous-tend un angle d'une seconde en un point est appelée parsec.
    1 parsec = 3,08 x 10 16 m
    • Taille d'un petit noyau = 1 fermi = Si = 10 -15 m
    • Taille d'un petit atome = 1 angström = 1A = 10 -10 m
  11. Méthode de parallaxe
    Cette méthode est utilisée pour mesurer la distance des planètes et des étoiles à la terre.
    Parallaxe. Tenez un stylo devant vos yeux et regardez le stylo en fermant l'œil droit puis l'œil gauche. Qu'observez-vous ? La position du crayon change par rapport à l'arrière-plan. Ce décalage relatif de la position du stylo (objet) par rapport à l'arrière-plan est appelé parallaxe.
    Si un objet distant, par exemple une planète ou une étoile, sous-tend l'angle de parallaxe 0 sur un arc de rayon b (appelé base) sur Terre, alors la distance de cet objet distant par rapport à la base est donnée par

    • Pour estimer la taille des atomes, nous pouvons utiliser la technique du microscope électronique et de la microscopie à effet tunnel. L'expérience de diffusion de particules a de Rutherford nous permet d'estimer la taille des noyaux de différents éléments.
    • Les horloges à pendule, les montres mécaniques (dans lesquelles les vibrations d'un balancier sont utilisées) et les montres à quartz sont couramment utilisées pour mesurer le temps. Les horloges atomiques au césium peuvent être utilisées pour mesurer le temps avec une précision de 1 partie sur 10 13 (ou avec un écart maximum de 3 ps par an).
    • L'unité SI de masse est le kilogramme. En traitant des atomes/molécules et des particules subatomiques, nous définissons une unité connue sous le nom d'unité de masse atomique unifiée (1 u), où 1 u = 1,66 x 10 -27 kg.
  12. Estimation de la taille moléculaire de l'acide oléique
    Pour cela 1 cm 3 d'acide oléique est dissous dans de l'alcool pour faire une solution de 20 cm 3 . Puis 1 cm 3 de cette solution est prélevé et dilué à 20 cm 3 , à l'aide d'alcool. La concentration de la solution est donc la suivante :

    Après cela, de la poudre de lycopodium est légèrement saupoudrée à la surface de l'eau dans un grand bac et une goutte de cette solution est mise dans l'eau. La goutte d'acide oléique se propage en un film mince, large et à peu près circulaire d'épaisseur moléculaire à la surface de l'eau. Ensuite, le diamètre du film mince est rapidement mesuré pour obtenir son aire A. Supposons que n gouttes aient été mises dans l'eau. Initialement, le volume approximatif de chaque goutte est déterminé (V cm 3 ).
    Volume de n gouttes de solution = nV cm 3
    Quantité d'acide oléique dans cette solution

    La solution d'acide oléique s'étale très rapidement à la surface de l'eau et forme une très fine couche d'épaisseur t. Si cela s'étend pour former un film de surface A cm 2 , alors l'épaisseur du film

    Si nous supposons que le film a une épaisseur monomoléculaire, cela devient la taille ou le diamètre d'une molécule d'acide oléique. La valeur de cette épaisseur s'avère être de l'ordre de 10 -9 m.
  13. Dimensions
    Les dimensions d'une quantité physique sont les puissances auxquelles les unités fondamentales de masse, de longueur et de temps doivent être élevées pour représenter la quantité physique donnée.
  14. Formule dimensionnelle
    La formule dimensionnelle d'une quantité physique est une expression qui nous dit comment et laquelle des quantités fondamentales entrent dans l'unité de cette quantité.
    Il est d'usage d'exprimer les quantités fondamentales par une lettre majuscule, par exemple, la longueur (L), la masse (AT), le temps (T), le courant électrique (I), la température (K) et l'intensité lumineuse (C). Nous écrivons les puissances appropriées de ces lettres majuscules entre crochets pour obtenir la formule dimensionnelle d'une quantité physique donnée.
  15. Applications des dimensions
    Le concept de dimensions et les formules dimensionnelles sont utilisés pour les utilisations suivantes :
    (i) Vérification des résultats obtenus
    (ii) Conversion d'un système d'unités à un autre
    (iii) Dérivation des relations entre les grandeurs physiques
    (iv) Mise à l'échelle et étude de modèles.
    Le principe sous-jacent à ces usages est le principe d'homogénéité des dimensions. Selon ce principe, les dimensions ‘net’ des diverses quantités physiques des deux côtés d'une relation physique admissible doivent être les mêmes et seules des quantités dimensionnellement similaires peuvent être additionnées ou soustraites les unes aux autres.
  16. Limites de l'analyse dimensionnelle
    La méthode des dimensions a les limitations suivantes :
    (i) par cette méthode, la valeur de la constante sans dimension ne peut pas être calculée.
    (ii) par cette méthode, l'équation contenant les termes trigonométriques, exponentiels et logarithmiques ne peut pas être analysée.
    (iii) si une quantité physique en mécanique dépend de plus de trois facteurs, alors la relation entre eux ne peut pas être établie car nous ne pouvons avoir que trois équations en égalisant les puissances de M, L et T.
    (iv) il ne dit pas si la quantité est vectorielle ou scalaire.
  17. Chiffres significatifs
    Les chiffres significatifs sont une mesure de la précision d'une mesure particulière d'une quantité physique.
    Les chiffres significatifs dans une mesure sont les chiffres d'une quantité physique qui sont connus de manière fiable plus le premier chiffre qui est incertain.
  18. Les règles de détermination du nombre de chiffres significatifs
    (i) Tous les chiffres non nuls sont significatifs.
    (ii) Tous les zéros entre les chiffres non nuls sont significatifs.
    (iii) Tous les zéros à droite du dernier chiffre différent de zéro ne sont pas significatifs dans les nombres sans point décimal.
    (iv) Tous les zéros à droite d'un point décimal et à gauche d'un chiffre différent de zéro ne sont pas significatifs.
    (v) Tous les zéros à droite d'un point décimal et à droite d'un chiffre différent de zéro sont significatifs.
    (vi) En plus et en soustraction, il faut retenir la moindre décimale parmi les valeurs opérées, dans le résultat.
    (vii) Dans la multiplication et la division, nous devrions exprimer le résultat avec le plus petit nombre de chiffres significatifs associé au nombre le moins précis en opération.
    (viii) Si la notation scientifique n'est pas utilisée :
    (a) Pour un nombre supérieur à 1, sans décimale, les zéros à droite ne sont pas significatifs.
    (b) Pour un nombre avec une décimale, les zéros à droite sont significatifs.
  19. Erreur
    La valeur mesurée de la grandeur physique est généralement différente de sa vraie valeur. Le résultat de chaque mesure par n'importe quel instrument de mesure est un nombre approximatif, qui contient une certaine incertitude. Cette incertitude est appelée erreur. Chaque quantité calculée, basée sur des valeurs mesurées, comporte également une erreur.
  20. Causes des erreurs de mesure
    Voici les causes des erreurs de mesure :

    Erreur de moindre comptage. La moindre erreur de comptage est l'erreur associée à la résolution de l'instrument. Le nombre minimal peut ne pas être suffisamment petit. L'erreur maximale possible est égale au plus petit nombre.
    Erreur instrumentale. Cela est dû à un étalonnage défectueux ou à un changement de conditions (par exemple, dilatation thermique d'une échelle de mesure). Un instrument peut également avoir une erreur zéro. Une correction doit être appliquée.
    Erreur aléatoire. C'est ce qu'on appelle aussi erreur fortuite. Cela permet de donner des résultats différents pour les mêmes mesures prises à plusieurs reprises. Ces erreurs sont supposées suivre la loi gaussienne de la distribution normale.
    Erreur accidentelle. Cette erreur donne des résultats trop élevés ou trop bas. Les mesures impliquant cette erreur ne sont pas incluses dans les calculs.
    Erreur systématique. Les erreurs systématiques sont les erreurs qui ont tendance à être dans une direction, positives ou négatives. Les erreurs dues à la flottabilité de l'air lors de la pesée et à la perte de rayonnement en calorimétrie sont erreurs systématiques. Ils peuvent être éliminés par manipulation. Certaines des sources d'erreurs systématiques sont :
    (i) erreur instrumentale
    (ii) imperfection dans la technique ou la procédure expérimentale
    (iii) erreurs personnelles
  21. Erreur absolue, erreur relative et erreur en pourcentage


  1. Combinaison d'erreurs
  2. TABLEAUX IMPORTANTS






Unités et quelques équations - Astronomie

L'IS est fondée sur sept Unités de base SI pendant sept quantités de base supposées indépendantes les unes des autres, comme indiqué dans le tableau 1.

Pour des informations détaillées sur les unités de base SI, voir Définitions des unités de base SI et leur contexte historique.

D'autres quantités, appelées quantités dérivées, sont définis en fonction des sept quantités de base via un système d'équations quantitatives. le Unités dérivées du SI car ces quantités dérivées sont obtenues à partir de ces équations et des sept unités de base SI. Des exemples de telles unités dérivées du SI sont donnés dans le tableau 2, où il convient de noter que le symbole 1 pour les quantités de dimension 1 telles que la fraction massique est généralement omis.

Tableau 2. Exemples d'unités dérivées du SI
Unité dérivée du SI
Quantité dérivée Nom symbole
surface mètre carré m 2
le volume mètre cube m 3
vitesse, vitesse mètre par seconde Mme
accélération mètre par seconde au carré m/s 2
nombre d'onde compteur réciproque m -1
densité de masse kilogramme par mètre cube kg/m3
volume spécifique mètre cube par kilogramme m 3 /kg
la densité actuelle ampère par mètre carré A/m 2
intensité du champ magnétique ampère par mètre Un m
concentration en quantité de substance mole par mètre cube mol/m 3
luminance candela par mètre carré cd/m 2
fraction massique kilogramme par kilogramme, qui peut être représenté par le nombre 1 kg/kg = 1

Tableau 3. Unités dérivées du SI avec
Unité dérivée du SI
Quantité dérivée Nom symbole Expression
en terme de
autres unités SI
Expression
en terme de
Unités de base SI
angle du plan radians (a) rad - m·m -1 = 1 (b)
angle solide stéradian (a) sr (c) - m 2 ·m -2 = 1 (b)
la fréquence hertz Hz - s -1
Obliger newton N - m·kg·s -2
pression, stress pascal Pennsylvanie N/m 2 m -1 ·kg·s -2
énergie, travail, quantité de chaleur joule J N·m m 2 ·kg·s -2
puissance, flux radiant watt W J/s m 2 ·kg·s -3
charge électrique, quantité d'électricité Coulomb C - s·A
différence de potentiel électrique,
force électromotrice
volt V WASHINGTON m 2 ·kg·s -3 ·A -1
capacitance farad F CV m -2 ·kg -1 ·s 4 ·A 2
résistance électrique ohm VIRGINIE m 2 ·kg·s -3 ·A -2
conductance électrique siemens S UN V m -2 ·kg -1 ·s 3 ·A 2
Flux magnétique weber Wb V·s m 2 ·kg·s -2 ·A -1
densité de flux magnétique tesla T Wb/m 2 kg·s -2 ·A -1
inductance Henri H Wb/A m 2 ·kg·s -2 ·A -2
Température Celsius degré Celsius °C - K
flux lumineux lumen lm cd·sr (c) m 2 ·m -2 ·cd = cd
éclairement lux lx ml/m2 m 2 ·m -4 ·cd = m -2 ·cd
activité (d'un radionucléide) becquerel Bq - s -1
dose absorbée, énergie spécifique (transmise), kerma gris Gy J/kg m 2 ·s -2
équivalent de dose (d) sievert Sv J/kg m 2 ·s -2
activité catalytique katal kat s -1 ·mol
(a) Le radian et le stéradian peuvent être utilisés avantageusement dans les expressions d'unités dérivées pour distinguer des quantités de nature différente mais de même dimension. Quelques exemples sont donnés dans le tableau 4.
(b) En pratique, les symboles rad et sr sont utilisés le cas échéant, mais l'unité dérivée "1" est généralement omise.
(c) En photométrie, le nom d'unité stéradian et le symbole d'unité sr sont généralement retenus dans les expressions pour les unités dérivées.
(d) Les autres quantités exprimées en sieverts sont l'équivalent de dose ambiant, l'équivalent de dose directionnel, l'équivalent de dose individuel et la dose équivalente à un organe.

Remarque sur le degré Celsius. L'unité dérivée du tableau 3 avec le nom spécial degré Celsius et le symbole spécial °C mérite un commentaire. En raison de la façon dont les échelles de température étaient définies, il reste de pratique courante d'exprimer une température thermodynamique, symbole T, en termes de différence par rapport à la température de référence T0 = 273,15 K, le point de glace. Cette différence de température est appelée température Celsius, symbole t, et est défini par l'équation de quantité

L'unité de température Celsius est le degré Celsius, symbole °C. La valeur numérique d'une température Celsius t exprimée en degrés Celsius est donnée par

Il résulte de la définition de t que le degré Celsius est égal en amplitude au kelvin, ce qui implique à son tour que la valeur numérique d'une différence de température ou d'un intervalle de température donné dont la valeur est exprimée en degré Celsius (°C) est égale à la valeur numérique de la même différence ou intervalle lorsque sa valeur est exprimée dans l'unité kelvin (K). Ainsi, les différences de température ou les intervalles de température peuvent être exprimés en degrés Celsius ou en kelvin en utilisant la même valeur numérique. Par exemple, la différence de température Celsius t et la différence de température thermodynamique T entre le point de fusion du gallium et le point triple de l'eau peut s'écrire comme t = 29,7546 °C = T = 29,7546 K.

Les noms et symboles spéciaux des 22 unités dérivées du SI avec des noms et symboles spéciaux donnés dans le Tableau 3 peuvent eux-mêmes être inclus dans les noms et symboles d'autres unités dérivées du SI, comme indiqué dans le Tableau 4.


Unités et quelques équations - Astronomie

Puissance = courant x tension (P = I V)
1 Watt est la puissance d'un courant de 1 Ampère traversant 1 Volt.
1 kilowatt équivaut à mille watts.
1 kilowatt-heure est l'énergie d'un kilowatt de puissance circulant pendant une heure. (E = Pt).
1 kilowattheure (kWh) = 3,6 x 10 6 J = 3,6 millions de Joules

1 calorie de chaleur est la quantité nécessaire pour élever 1 gramme d'eau de 1 degré centigrade.
1 calorie (cal) = 4,184 J
(Les calories dans les évaluations des aliments sont en fait des kilocalories.)

Un BTU (British Thermal Unit) est la quantité de chaleur nécessaire pour élever une livre d'eau de 1 degré Farenheit (F).
1 unité thermique britannique (BTU) = 1055 J (l'équivalent mécanique de la relation thermique)
1 BTU = 252 cal = 1,055 kJ
1 Quad = 10 15 BTU (La consommation mondiale d'énergie est d'environ 300 Quads/an, les États-Unis sont d'environ 100 Quads/an en 1996.)
1 ther = 100 000 BTU
1 000 kWh = 3,41 millions de BTU

Conversion de puissance

Conversion du volume de gaz en énergie

Contenu énergétique des carburants

Charbon 25 millions de BTU/tonne
Pétrole brut 5,6 millions de BTU/baril
Pétrole 5,78 millions de BTU/baril = 1700 kWh/baril
Essence 5,6 millions de BTU/baril (un baril vaut 42 gallons) = 1,33 therms/gallon
Liquides de gaz naturel 4,2 millions de BTU/baril
Gaz naturel 1030 BTU/pied cube
Bois 20 millions de BTU/corde

Pollution par le CO2 des combustibles fossiles

Livres de CO2 par milliard de BTU d'énergie : :
Charbon 208 000 livres
Pétrole 164 000 livres
Gaz naturel 117 000 livres

Ratios de pollution au CO2 :
Pétrole / Gaz Naturel = 1,40
Charbon / Gaz naturel = 1,78

Livres de CO2 par 1 000 kWh, à 100 % d'efficacité :
Charbon 709 livres
Huile 559 livres
Gaz naturel 399 livres


Concepts et définitions de base

1.7 Exercices

Vérifiez les dimensions et les unités indiquées dans le tableau 1.1 .

La constante de gravitation g est défini par

(Répondre: MT 2 L −3 , kgm −3 s 2 , slugft −3 s 2 )

En supposant la période d'oscillation d'un pendule simple τ dépendre de la masse de l'objet, de la longueur du pendule je, et l'accélération due à la pesanteur g, utilisez la théorie de l'analyse dimensionnelle pour montrer que la masse de l'objet n'est pas, en fait, pertinente. Ensuite, trouvez une expression appropriée pour la période d'oscillation en fonction des autres variables.

(Répondre: τ = c l ∕ g , où c est une constante)

Un disque plat mince de diamètre tourne autour d'un axe passant par son centre, à une vitesse de ω radians par seconde, dans un fluide de densité ρ et viscosité cinématique ν. Montrer que le pouvoir P nécessaire pour faire tourner le disque peut être exprimé par (a)

Noter: Pour (a) résoudre en fonction de l'indice de ν et pour (b) résoudre en fonction de l'indice de ω.

De plus, montrer que ω D 2 /ν, PD/ ν 3 , et P/ ω 3 D 5 sont toutes des quantités non dimensionnelles.

Sphères de différents diamètres et densités σ sont autorisés à tomber librement par gravité à travers divers fluides (représentés par leurs densités ρ et viscosités cinématiques ν) et leurs vitesses terminales V sont mesurés. Trouver une expression rationnelle reliant V avec les autres variables, et donc suggérer un graphique approprié dans lequel les résultats peuvent être présentés.

Noter: Il y aura cinq indices inconnus, et donc deux doivent rester indéterminés, ce qui donnera deux fonctions inconnues du membre de droite. Faire des indices inconnus ceux de σ et ν.

(Répondre: V = D g f h D v D g par conséquent, tracez les courbes de V D g en fonction de D v D g pour différentes valeurs de σ/ρ.)

Un avion pèse 60 000 N et a une envergure de 17 m. Une maquette au 1/10e est testée, volets sortis, dans un tunnel d'air comprimé à 15 atmosphères de pression et 15°C à différentes vitesses. La portance maximale sur le modèle est mesurée aux différentes vitesses, avec les résultats suivants :

Estimez la vitesse de vol minimale de l'avion au niveau de la mer (c'est-à-dire la vitesse à laquelle la portance maximale de l'avion est égale à son poids).

La distribution de la pression sur une section d'une aile bidimensionnelle à 4 degrés d'incidence peut être approchée comme suit : Surface supérieure : C p constant à –0,8 du bord d'attaque à 60 % de corde, puis croissant linéairement jusqu'à + 0,1 à l'arrière bord. Inférieur : C p constant à –0,4 du bord d'attaque à 60 % de corde, puis croissant linéairement jusqu'à + 0,1 au bord de fuite. Estimez le coefficient de portance et le coefficient de moment de tangage autour du bord d'attaque dû à la portance.

La pression statique est mesurée en plusieurs points de la surface d'un long cylindre circulaire de 150 mm de diamètre dont l'axe est perpendiculaire à un courant de densité standard à 30 ms -1 . Les points de pression sont définis par l'angle θ, qui est l'angle sous-tendu au centre par l'arc entre le point de pression et le point de stagnation avant. Dans le tableau suivant, les valeurs sont données pour p – p 0 , où p est la pression à la surface du cylindre et p 0 est la pression non perturbée du flux libre, pour divers angles θ, toutes les pressions étant en Nm -2 . Les lectures sont identiques pour les moitiés supérieure et inférieure du cylindre. Estimez la traînée de pression de forme par mètre parcouru et le coefficient de traînée correspondant.

θ
pp0
(degrés)
(Nm −2 )
0102030405060
+569+502+301–57–392–597–721
θ
pp0
(degrés)
(Nm −2 )
708090100110120
–726–707–660–626–588–569

Pour les valeurs de θ entre 120 et 180 degrés, p – p 0 est constant à –569 Nm −2 .

(Répondre: C D = 0,875, = 7,25 Nm −1 )

Un planeur a une aile de 18 m d'envergure et un allongement de 16. Le fuselage mesure 0,6 m de large à l'emplanture de l'aile et le rapport de conicité de l'aile est de 0,3 avec des bouts d'aile coupés carré. A une vitesse air vraie de 115 kmh -1 à une altitude où la densité relative est de 0,7, la portance et la traînée sont respectivement de 3500 N et 145 N. Le coefficient de moment de tangage de l'aile autour du point du quart de corde est de –0,03 sur la base de la surface brute de l'aile et de la corde moyenne aérodynamique. Calculez les coefficients de portance et de traînée en fonction de la surface brute de l'aile et du moment de tangage autour du point de quart de corde.

(Répondre: C L = 0,396, C D = 0,0169, M = − 3 2 2 Nm, puisque c ¯ A ≈ 1 . 2 4 5 m )

Décrire qualitativement les résultats attendus du tracé de la pression d'un profil aérodynamique bidimensionnel conventionnel, symétrique et à basse vitesse. Indiquer les changements attendus avec incidence et discuter des processus de détermination des forces résultantes. Des tests supplémentaires sont-ils nécessaires pour déterminer les forces globales de portance et de traînée ? Inclure dans la discussion l'ordre de grandeur attendu pour les diverses distributions et forces décrites.

Montrer que pour des systèmes aérodynamiques géométriquement similaires, les coefficients de force non dimensionnels de portance et de traînée ne dépendent que du nombre de Reynolds et du nombre de Mach. Discutez brièvement de l'importance de ce théorème dans les essais en soufflerie et la théorie de la performance simple.

"Une pinte par livre le monde autour" est la vieille rime décrivant le poids de l'eau. Étant donné qu'une pinte est un huitième de gallon, soit 231,8 pouces cubes, et que la densité de l'eau douce (pas de l'eau de mer) est de 1,93 limace par pied cube, résolvez le pourcentage d'erreur dans l'ancienne rime.

Au lycée, W = mg montre qu'une limace pèse 32,174 livres. Pourtant, 1 limace = 1 livre s 2 pi. De même, 1 kg pèse 9,8 N. À quoi correspond 1 kg ? Notez la différence entre « pese » et « égale » que nous perdons souvent de vue lors des devoirs et des examens. Notez également que le système de travail slug-ft-sec est identique aux unités mks. C'est le système lbm-ft-sec qui est inhabituel.

Le graphique en haut de la page suivante montre les données relatives à la poussée maximale publiquement disponible par rapport à la masse maximale au décollage pour une large gamme d'avions d'affaires bimoteurs. Les avions du marché des « jets très légers » sont en bas à gauche et le jet d'affaires 737 en haut à droite. Montrez que le rapport portance/traînée maximum pour tous ces aéronefs est d'environ 6, en supposant qu'ils puissent décoller avec un moteur en panne. Vous devez supposer que la course au décollage est horizontale et qu'une portance suffisante est générée pour commencer à accélérer verticalement. De même, supposons que la course au décollage a une accélération négligeable, c'est-à-dire une vitesse presque constante.

Une mesure de performance importante d'un avion de ligne commercial est « dollars par siège-mille », ou le coût pour faire voyager un passager sur un mille. Plus ce nombre est petit, meilleures sont les performances de l'avion. Ce nombre n'est pas seulement fonction de la forme de l'aile et du moteur, il dépend de la charge de l'avion. Si vous pouvez naviguer sur un petit planeur en balsa ou en mousse à une hauteur reproductible (échelle, balcon, sommet d'une colline, etc.), vous pouvez optimiser les « dollars par siège-mile » pour cela. Maximiser les dollars par siège-mile pour le planeur est une tâche de minimiser le dénominateur : sièges fois miles, ou le produit de la charge utile et de la distance. Chargez votre parapente avec différentes charges utiles et enregistrez la distance qu'elle parcourt (vous devez conserver une bonne assiette, alors collez des poids au centre de masse du parapente). Quelle charge utile vous fournit le produit à plage de charge utile maximale ? Le minimum?


Site Web de Tobias Westmeier

Sur cette page j'ai compilé quelques équations qui sont régulièrement nécessaires à l'analyse statistique des spectres en radioastronomie, en particulier pour la raie des 21 cm de l'hydrogène neutre. La plupart des équations présentées sur cette page ne sont généralement valables que pour des sources à faible décalage vers le rouge, et des corrections spéciales dépendantes du redshift devront être appliquées pour les objets à des distances cosmologiques !

Aucune responsabilité n'est prise pour l'exactitude des informations sur cette page. S'il vous plaît laissez-moi savoir si vous trouvez des erreurs ou des informations inexactes. Les équations de cette page sont rendues par MathJax, et JavaScript devra être activé dans votre navigateur pour qu'elles s'affichent correctement.

Aperçu

Conversion de flux

Le concept de température de brillance est basé sur l'approximation de Rayleigh&ndashJeans de la loi de Planck&rsquos. La température de brillance, $T_< m B>$, d'une source astronomique est définie comme la température d'un corps noir qui émet le même rayonnement spectral, $B_< u>$, que la source, d'où

où $ u$ est la fréquence de l'émission et nous avons utilisé la relation entre la longueur d'onde et la fréquence du rayonnement électromagnétique, $ u lambda = mathrm$. La densité de flux d'une source est simplement définie comme l'intégrale de la radiance spectrale sur l'angle solide de la source dans le ciel, conduisant à la relation entre la température de brillance et la densité de flux, $S_< u>$, de

Dans le cas simple où une source de température de luminosité constante remplit toute la taille du faisceau de télescope, on obtient la relation suivante entre la température de brillance et la densité de flux :

où $Omega_< m bm>$ est l'angle solide du faisceau du télescope. En supposant un faisceau gaussien d'angle solide $Omega_ < m bm>= pi vartheta_ vartheta_ , / , [4 ln(2)]$, l'équation peut être simplifiée en

mathrm$ (ligne H&thinspi), nous pouvons encore simplifier l'équation en

où $vartheta$ est à nouveau donné en secondes d'arc. Dans le cas des observations H&thinspi, le flux intégré sur une raie spectrale peut être directement converti en la densité de colonne H&thinspi correspondante $N_< m H,I>$ en supposant que le gaz est optiquement mince $( au ll 1 )$ :

Sous les hypothèses habituelles (gaz optiquement mince, décalage vers le rouge zéro, etc.), nous pouvons calculer la masse H&thinspi d'une galaxie ou d'un nuage de gaz à partir du flux H&thinspi intégré, en utilisant

où $S_< m int>$ est le flux intégré et $d$ est la distance de la source. Si $S_< m int>$ est donné dans $mathrm^<-1>$ et $d$ dans $mathrm$, comme c'est souvent le cas pour les données extragalatiques, la constante numérique devient 236$.

Lignes d'absorption H&thinspi

Pour la raie d'émission de 21 cm d'hydrogène atomique neutre, l'équation de transfert radiatif peut s'écrire sous la forme suivante :

où $T_< m B>( u)$ est le profil de température de brillance observé de la raie H&thinspi, $T_< m S>$ est la température de spin du gaz, $T_< m C>$ est la la température de brillance de toute émission continue de fond, et $ au( u)$ est la profondeur optique du gaz en fonction de la fréquence, $ u$. Si nous supposons que la profondeur optique du gaz est petite, c'est-à-dire $ au( u) ll 1$, l'équation peut être simplifiée en

Si nous définissons maintenant la température de brillance de la raie spectrale comme la différence entre le niveau du continuum et la température de brillance observée, $T_< m L>( u) equiv T_ < m C>- T_< m B> ( u)$, nous pouvons réécrire l'équation ci-dessus comme

D'autre part, la relation entre la densité de colonne observée, $N_< m H,I>$, et la profondeur optique est exprimée par

où $C$ est une constante. En insérant Eq.&thinsp$eqref$ dans Eq.&thinsp$eqref$ et en supposant que la source du continuum d'arrière-plan est très lumineuse $(T_ < m S>ll T_< m C>)$ nous obtenons l'expression suivante pour la densité de la colonne :

A partir de cela, nous pouvons estimer directement la force relative de la raie d'absorption H&thinspi, $T_ < m L>/ T_< m C>$, pour une densité de colonne et une température de spin du gaz particulières. La constante, $C$, est la même que dans Eq.&thinsp$eqref$ si nous intégrons sur la vitesse au lieu de la fréquence.

Conversion de la vitesse et de la fréquence

L'équation relativiste spéciale pour la conversion de la fréquence observée, $f$, d'une source en vitesse radiale, $v$, sous l'hypothèse que l'objet se rapproche ou s'éloigne de l'observateur se lit

où $mathrm$ désigne la vitesse de la lumière et $f_<0>$ est la fréquence de repos de la transition de ligne observée. Cette équation suppose que le décalage vers le rouge observé d'une source est dû à sa vitesse relativiste le long de la ligne de visée vers ou loin de l'observateur (effet Doppler relativiste). Notez que l'effet Doppler relativiste dépend également de la composante de vitesse transversale de l'objet, et Eq.&thinsp$eqref$ ne sera donc valable que pour mouvement en ligne de visée pur.

Also note that the observed redshift of distant sources is largely due to the &ldquocosmological expansion&rdquo of space, not due to their velocity with respect to the observer. Hence, the above relation will not yield sensible results for sources at higher redshift, and frequency (or redshift) rather than velocity should be used to characterise sources beyond redshift zero.

There are two commonly used approximations to this equation which are accurate for small velocities of up to a few hundred km/s. The so-called &ldquooptical definition&rdquo reads

commencer box[#F0F0F0, 10px, border:1px solid black]>> = frac> - 1 = z> end

and the so-called &ldquoradio definition&rdquo is

The advantage of the &ldquoradio definition&rdquo is that equal increments in frequency correspond to equal increments in radial velocity. However, the &ldquoradio definition&rdquo is deprecated by the International Astronomical Union (IAU) and should not be used any more, as the resulting velocity values are arbitrary and not physically motivated.

The &ldquooptical definition&rdquo, $v = mathrmz$, is also referred to as the recessional velocity and used as a convenient proxy for redshift when characterising distant objects, e.g. in redshift surveys. Despite having the dimension of a velocity, it must not be mistaken for a true velocity. Instead, it is simply the redshift of a source multiplied by a constant (in this case the speed of light) and entirely unrelated to the source&rsquos peculiar velocity (with the exception of the nearest objects within the Local Group).

Rest frames

The observed radial velocity of an astronomical object is subject to several projection effects such as the rotation and the orbital motion of the Earth, the motion of the Sun around the Galactic centre, the motion of our Galaxy within the Local Group, etc. To be able to interpret the observed radial velocity one must convert it into an appropriate rest frame.

A useful rest frame for objects in the solar neighbourhood is the so-called barycentric standard-of-rest (BSR) frame which uses the barycentre of the Solar System as reference point. Normally, the spectra observed with a radio telescope are already provided in the BSR frame. The BSR frame is often referred to as the heliocentric standard-of-rest (HSR) frame. The latter one, however, uses the barycentre of the Sun as reference point instead of the Solar System barycentre. The difference between barycentric and heliocentric velocities, however, is rather small and negligible in most cases.

For objects located in the Galaxy at larger distances from the Sun one usually uses the local standard-of-rest (LSR) frame as the reference for radial velocities. The LSR frame accounts for the peculiar motion of the Sun of about 16.55 km/s with respect to the regular rotation of the Galaxy. Radial velocities in the LSR frame can be calculated from barycentric velocities via

commencer v_ < m LSR>= v_ < m BSR>+ 9 cos(l) cos(b) + 12 sin(l) cos(b) + 7 sin(b) end

where $l$ and $b$ are the Galactic longitude and latitude. This definition is the so-called &ldquodynamical defintion&rdquo (also referred to as the LSRD) as specified by the IAU. There is an alternative &ldquokinematical definition&rdquo (referred to as LSRK) which results in a slightly higher velocity of about 20 km/s in the direction of $(alpha, delta) = (270^,30^)$ in the B1900 system. However, the LSRD definition is the one most commonly used and usually referred to as the LSR.

For the description of circumgalactic objects it is useful to correct also for the rotation of our Milky Way of 220 km/s. The corresponding reference frame, the so-called Galactic standard-of-rest (GSR) frame, is derived from the LSR frame via

For objects spread across the Local Group a reference frame accounting for the motion of our Milky Way of about 80 km/s with respect to the Local Group barycentre would be ideal. The corresponding radial velocities in the so-called Local Group standard-of-rest (LGSR) frame can be calculated from the GSR velocities via

commencer v_ < m LGSR>= v_ < m GSR>- 62 cos(l) cos(b) + 40 sin(l) cos(b) - 35 sin(b) end

In principal, one can correct the radial velocity for rest frames of even higher order in the hierarchy of the universe. The reference frames mentioned above, however, are the ones most frequently used.

Moment analysis

Standard spectral moments

Let&rsquos assume that the spectrum is given in terms of intensity $A(v)$ (e.g. brightness temperature $T_< m B>$) as a function of radial velocity $v$ with a bin width of $Delta v$. The zeroth moment of the spectrum is simply the integrated flux over the spectral line:

commencer M_ <0>= Delta v sum A(v) end

The first moment defines the intensity-weighted velocity of the spectral line. It can be taken as a measure for the mean velocity of the gas. The first moment is defined by

The second moment is a measure for the velocity dispersion, $sigma$, of the gas along the line of sight, i.e. the width of the spectral line. It is defined by the intensity-weighted square of the velocity:

Skewness and kurtosis

In addition to these spectral moments it is also occasionally useful to calculate higher-order moments of imaging data in order to determine the skewness and kurtosis of the distribution of flux density values. The skewness can be defined as

while the kurtosis can likewise be written as

The higher-order moments, $mathfrak_$, required for their calculation are defined as

commencer mathfrak_ = frac<1> sum limits_^ (y_ - ar)^ finir

where $N$ is the number of data samples, $y_$ are the flux density values, and $ar = sum y_ , / , N$ is the mean flux density. Skewness is a measure for the level of asymmetry in the flux density distribution, while kurtosis can be used as a measure of how dominant the wings or tails of the distribution are. For pure Gaussian noise, i.e. for normally distributed values of $y_$, we expect to measure $S = 0$ and $K = 3$.

Temperature from H&thinspi lines

From the intensity and width of H&thinspi lines one can usually obtain a lower and upper limit of the kinetic temperature of the gas. The lower limit is given by the brightness temperature of the line. Due to its long life time, the 21-cm transition is usually collisionally excited, and the spin temperature of the gas is equal to the kinetic temperature. From the equation of radiative transfer we therefore get the following relation between brightness temperature, $T_< m B>$, and spin temperature, $T_< m S>$:

An upper limit of the kinetic temperature can be derived from the line width. This is possible because the intrinsic line width of the H&thinspi line is very small due to the long life time of the transition. Hence, the observed line width is dominated by Doppler broadening due to effects such as the kinetic temperature of the gas, internal turbulence or rotation of the gas, or multiple clouds along the line of sight. From the Maxwell distribution we therefore get:

Here, $m_ < m H>approx 1.674 imes 10^

mathrm$ is the mass of a hydrogen atom, and $Delta v$ is the FWHM of the H&thinspi line.


Basic and Derived Units

"The creation of the decimal Metric System at the time of the French Revolution and the subsequent deposition of two platinum standards representing the meter and the kilogram, on 22 June 1799, in the Archives de la République in Paris can be seen as the first step in the development of the present International System of Units.. read on.

Definitions:

UNE quantity dans le general sense is a property ascribed to phenomena, bodies, or substances that can be quantified for, or assigned to, a particular phenomenon, body, or substance. Examples are mass and electric charge.

UNE quantity dans le particular sense is a quantifiable or assignable property ascribed to a particular phenomenon, body, or substance. Examples are the mass of the moon and the electric charge of the proton.

UNE physical quantity is a quantity that can be used in the mathematical equations of science and technology.

UNE unit is a particular physical quantity, defined and adopted by convention, with which other particular quantities of the same kind are compared to express their value.

All physical quantities can be expressed in terms of seven base units.

Base Quantity Nom symbole
length Historical Context meter m
Masse Historical Context kilogram kg
temps Historical Context second s
electric current Historical Context ampere UNE
thermodynamic temperature Historical Context kelvin K
amount of substance Historical Context mole mol
luminous intensity Historical Context candela cd

Derived Units

Other quantities, called derived quantities, are defined in terms of the seven base quantities via a system of quantity equations. The SI derived units for these derived quantities are obtained from these equations and the seven SI base units. Examples of such SI derived units are given in Table 2, where it should be noted that the symbol 1 for quantities of dimension 1 such as mass fraction is generally omitted.


Powers of 10

A convenient way to express large and small numbers is to use exponents or powers of 10, which are multiples of 10.

Large numbers

You can designate a large number such as 1,000,000 as an exponent or power of 10 by counting the number of zeros and writing the number as 10 6 ou alors 1*10 6 .

If the number was 300,000,000, you would write it as 3*10 8 .

If the number was 2,524,200, you would round it off and use the scientific notation of a number less than 10, with two decimal places, such as the approximate value of 2.52*10 6 ..

Other equivalent notations for a number such as 3*10 8 sont 3*10^8 et 3E8.

Small numbers

Following the same method for a small number 1/100,000 = 1/10 5 , since 100,000 possède 5 zeros. That can be written as 10 &minus5 . Note that the decimal version of 1/100,000 est 0.00001, which only has 4 zeros after the decimal point. It is something to be aware of. Some other examples are:

3/10,000,000 = 0.0000003 = 3*10 &minus7

0.00252 = 2.52*10 &minus4

0.000000004026 rounds off to 4.03*10 &minus9


WRITING NUMBERS, UNITS OF MEASURE, AND EQUATIONS

Because numbers are used so frequently in technical writing, the rules for writing them are designed for clarity and consistency. Some rules are hard and fast, and others will vary depending upon the style manual consulted. We will focus on a few rules that will help you write in EG.

Numbers

  1. All numbers below 10 (including zero) should be written out in words, with the following exceptions: age, time, dates, page numbers, percentages, money, proportions and units of measure. Numbers greater than nine are written in numerals.

Rule examples:

  • one robot
  • two containers
  • three team members
  • eight workstations
  • zero chance

Exceptions:

Units of Measure

  1. When writing units of measure, be consistent. If you are measuring temperature as degrees Fahrenheit, do not suddenly switch to degrees Celsius.
  2. Units of measure can be written as symbols, words, or abbreviations. For basic units of measurement, use words: 25 pounds, 12 inches. For derived units of measure — ones formed using a calculation — use symbols: 38mph, 27ft/s 2 . Some derived units of measure have two symbols: one that represents the derivation and one that represents the word. In this case, use the one that represents the word because it will be more familiar to your reader. Use F for Farad, Hz for Hertz, and V for Volt.
  3. To indicate multiplication, use a raised dot ( ∙ ). To indicate division, use a slash (/). If you are writing out the unit in words, use a hyphen for multiplication, and the word per for division: The force was 22 kilogram-meters squared, The speed was 50 miles per hour.
  4. If you want to add a secondary unit of measure after your primary one, put it in parentheses following the primary unit of measure: 10°C (50°F).

Equations

  1. Do not use too many equations it is easy to make a mistake and they are cumbersome in the text. If your readers are not technical, try not to use them at all.
  2. Put your equations on a separate line, center them, and number them:

This is by no means a comprehensive list of the rules for writing numbers, symbols and equations. For a complete list consult an appropriate style guide.


2. Symbols and equations

(a) Prefer single-letter variables (if necessary with subscripts, e.g. ERMS) over multi-letter ones (e.g. RMSE). Single-letter variables or parametres and user-defined function symbols should be Italic (e.g. x, Y, &beta, f(x)). Multi-letter variables, if cannot be avoided, should not be Italic.

(b) Common, explicitly defined, functions should not be Italic, whether their symbols are single-letter (e.g. &Gamma(x) for the gamma function, &Beta(y, z) for the beta function) or multi-letter (e.g. ln x, exp(x + y)).

(c) Textual subscripts or superscripts should not be Italic (e.g. xmax, Tmin where &lsquomax&rsquo and &lsquomin&rsquo stand for maximum and minimum, respectively).

(d) Mathematical constants should not be Italic (e.g. e = 2.718&hellip, &pi = 3.141&hellip, i 2 = &minus1). Also, mathematical operators should not be Italic (e.g. dx in integrals and derivatives, &Delta&gamma for the difference operator on &gamma).

(e) Vectors, matrices and vector functions should be bold and Italic (for single-letter variables). In particular, vectors are usually denoted with lower case letters (e.g. x, &omega as vectors F(x) as a vector function of a vector variable) and matrices with upper case letters (e.g. UNE as matrix UN B as the product of matrices UNE et B, UNE T as the transpose of UNE, det UNE as the determinant of a square matrix UNE).

(f) To distinguish between random variables and their realizations, either use upper case symbols for the former and lower case for the latter (e.g. P<X &le x>), or underline the random variables (e.g. P< x &le x>, the so-called Dutch convention).

(g) Do not use the hyphen (-) as a minus or subtraction sign use the en-dash (&ndash) instead. Also do not use the letter &lsquox&rsquo or the symbol &lsquo*&rsquo as a multiplication sign either use the symbol &lsquo×&rsquo or middle dot (&sdot) between numerals, or use a thin space (or even no space) between variables.

(h) For simple expressions in the body of the text, use solidus (/) to denote division, e.g. (x + oui)/2&eta, rather than a fraction with a horizontal division line.

(i) Write complex exponential functions in the form: exp(. ), e.g. exp((une + par 2 ) 1/2 ) rather than as a power of e. Note that nested parentheses are permitted (even recommended) for grouping.*

* Prepared by D. Koutsoyiannis (Hydrological Sciences Journal) and H.H.G. Savenije (Hydrology and Earth System Sciences), 2013 also discussed by G. Blöschl (Chairman of the 2013 Ad Hoc Meeting of Editors of Hydrological Journals), A. Bardossy (Journal of Hydrology), Z.W. Kundzewicz (Hydrological Sciences Journal), I.G. Littlewood (Hydrology Research), A. Montanari (Water Resources Research) and D. Walling (Hydrological Processes). Please report any suggestions you may have to [email protected] For more information see: (i) SI brochure (8th edition http://www.bipm.org/en/si/si_brochure/) (ii) ISO 80000-2 Standard (Mathematical Signs and Symbols to Be Used in the Natural Sciences and Technology not in open access) (iii) Unicode Technical Report #25 (Unicode Support for Mathematics http://www.unicode.org/reports/tr25).

&dagger Some journals accept &lsquoa&rsquo as a symbol for year, but &lsquoa&rsquo is also the symbol of an &lsquoare&rsquo which is a unit for area not recommended per se but commonly used in its multiple hectare=1 (1 a = 100 m 2 1 ha = 100 a = 10 4 m 2 = 1 hm 2 ).


Voir la vidéo: NYA - - Les unités du Système International (Février 2023).